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Information Center for Mathematical Science

수학계동향

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수학계동향

일본수학회 국제 학회 참석
저자 한상근 지역 일본
시작일 1998-06-02 종료일 1998-06-13
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현대수학의 흐름(1998년 7월)


한국과학기술원 수학과 한 상 근

1998년 8월에 독일의 수도 Berlin에서 열리는 금세기의 마지막 International Congress of Mathematicians(ICM)에 즈음하여 많은 수학자들이 앞으로의 수학의 발전방향에 관한 논의를 하고 있다. 이 글에서는 필자가 접해본 앞으로의 전망에 관한 저명한 수학자, 학술회의, 학회, 또는 국가수준의 연구비 지원기관의 논의를 정리하여 소개하고자 한다. 필자의 수준으로 수학전반에 걸친 21세기 수학의 발전방향과 20세기 수학의 평가를 할 수는 없는 일이고 따라서 대부분의 내용은 많은 수학자들이 금세기의 수학의 대가라고 인정하는 학자들의 전망을 요약한 것이다.

러시아의 I. Arnold는 International Mathematical Union(IMU)의 결정에 따라서 저명한 수학자들에게 21세기를 위한 수학의 커다란 문제들을 지적해달라는 편지를 보냈다. Arnold는 IMU의 Vice-President이다. 이것은 물론 1900년 파리에서 열린 ICM에서 D. Hilbert가 20세기 수학을 위한 23개의 문제들을 제기한 것과 비슷한 일을 다시 한번 해보자는 것이다. Arnold의 편지에 대한 S. Smale(1966년에 Fields상 수상)의 답장이 The Mathematical Intelligencer Volume 20, Number , 1998의 7페이지에서 15페이지에 걸쳐서 나왔다. Smale이 제기한 18개의 문제들은 다음과 같다. 지면관계상, 그리고 참고문헌을 이미 밝혔으므로 간단하게 제목만 소개를 하겠다. Smale의 문제에는 최근에 그가 관심을 가지고 있는 Algorithm, Complexity에 관한 문제들이 들어있다.

1. The Riemann Hypothesis
2. The Poincare Conjecture
3. Does P = NP ?
4. Integer Zeroes of a Polynomial
5. Height Bounds for Diophantine Curves
6. Finiteness of the Number of Relative Equilibria in Celestial Mechanics
7. Distribution of Points on the 2-Sphere
8. Introduction of Dynamics into Economics
9. The Linear Programming Problem
10. The Closing Lemma
11. Is One-Dimensional Dynamics Generally Hyperbolic ?
12. Centralizers of Diffeomorphisms
13. Hilbert's 16th Problem(Problem of the Topology of Algebraic Curves)
14. Lorenz Attractor
15. Navier-Stokes Equations
16. The Jacobian Conjecture
17. Solving Polynomial Equations
18. Limits of Intelligence

독일수학회에서도 Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1998년도 제 2 호에서 21세기를 위한 수학의 전망에 관한 D. Mumford(IMU 회장, 1974년에 Fields상 수상), A. Friedman, L. Lovasz, Y. Manin, G. Rota, R. Jensen, R. Penrose등의 글과 인터뷰를 25페이지부터 64페이지에 걸쳐서 싣고 있다. 그것은

Mumford, Trends in the Profession of Mathematics
Friedman, Reflections on the Future of Mathematics
Lovasz, One Mathematics
Manin, Good Proofs Are Proofs that Make Us Wiser(Interview)
Rota, Ten Mathematics Problems I Will Never Solve
Jensen, Exploring the Infinite : Developments in Set Theory
Penrose, Mathematical Physics in the 20th and 21th Centuries ?

이다. 우선 Rota의 10가지 문제는

1. Basis Conjecture
2. The Critical Problem
3. The Titchmarsh Convolution Theorem
4. A Unified Theory of Special Functions
5. Set Functions on Convex Bodies
6. Set Functions of Polynomial Type
7. Intrinsic Volumes on Families of Surfaces
8. Confluent Symmetric Functions
9. Invariants of Four Subspaces
10. Profinite Combinatorics

이다. Rota의 문제에는 그의 관심분야인 해석학적인 문제들이 있다.

Lovasz의 관점은 다음과 같다. 20세기 이후로는 과거와 비교해서

(1) 수학자의 수가 훨씬 많아져서 수학이 세부분야로 분화하는
(2) 전혀 새로운 응용분야가 많이 나타나서 어떤 분야도 자신들의 분야는 응용이라고는 그야말로 조금도 없는 Pure Mathematics라고 주장할 수 없게 되었고(G. Hardy가 했던 말 "정수론을 위하여 건배 ! 절대로 응용되지 않도록."이 지금은 통용되지 않는다.) 마찬가지로 어떤 분야도 자신들의 분야 하나만 The Applied Mathematics라고 주장할 수 없게 되었다
(3) 전혀 새로운 도구, 즉 컴퓨터, 가 등장하였다.

그리고 우리는 앞으로 Survey를 쓰는 것과 Problem 또는 Conjecture를 만드는 새로운 흐름을 예상할 수 있다. 또한 앞으로는 수학계에서 수학의 Unification을 위해서 더욱 노력해야 할 것이다. Lovasz는 Yale대학 전산학과 교수이다.

Friedman의 관점은 다음과 같다. 먼저 지금까지의 수학의 역사는 <장기예측, Long Term Prediction>을 한다는 것이 얼마나 허망한 짓인지를 잘 보여주고 있다. 새로운 발전은 전혀 예측하지 못한 방식으로 전혀 예측하지 못한 분야에서 언제라도 나타날 수 있다. 다만 수학을 최근에 들어서 점점 중요하게 사용하는 분야를 몇 개 꼽는다면

1. Materials Science
2. Biology
3. Multimedia

이다. Minnesota대학의 Institute for Mathematics and Its Applications(IMA)의 소장을 오랫동안 역임했던 Friedman도 역시 Lovasz가 지적한 것처럼 수학의 어떤 특정분야만이 응용수학이라는 식의 주장을 피하고 있다. 1994년에 스위스의 Zurich에서 열린 ICM에서는 초청연사인 J. Stillwell이 라는 주제로 지금처럼 미적분(Calculus)을 대학 신입생들에게 가르치지 말고 대신에 정수론을 가르치자는 강연을 했다. 원문은 Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zurich, Switzerland, 1994의 1559 페이지부터 1567 페이지에 걸쳐서 나와있다. Stillwell의 논지는 정수론은 대수학, 기하학, 삼각함수, 미적분 등에서 나타나는 상당수의 구체적인 예를 대학 신입생들에게 쉽게 보여줄 수 있는 예를 많이 가지고 있다는 것이다.

Berkeley의 Mathematical Sciences Research Institute(MSRI)와 Rutgers의 Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science(DIMACS)는 최근에 수학을 Biology에 응용하는 이론들에 관한 많은 학회를 개최하였다. Berkeley에서 열린 학회의 제목은 Mathematical Biology - The Mathematics of 21th Century라는 야심만만한 제목이고, DIMACS는 심지어 3년간 연속해서 Special Year Program의 주제로 Mathematical Support for Biology를 잡았다. 다루어진 내용들은 고전적인 미분방정식 형태의 Modeling, DNA Sequence를 해석하기 위한 조합론적 기법, DNA 또는 단백질의 3차원 구조를 연구하기 위한 기하학적 또는 위상수학적 기법 등이다. DNA나 단백질이 동일한 원자들로 이루어져 있어도 그 삼차원 위상구조에 따라서 활성도가 다르고 세포 내부에서 각각 다르게 반응한다는 것이 이미 알려져 있다. 1998년에 나온 Society for Industrial and Applied Mathematics(SIAM)의 특별 보고서 에서도 간단하게 한마디로 <전반적인 과학기술의 발달로 인하여 수학에서 응용되지 않는 분야는 더 이상 존재하지 않는다>라고 하였다. 정수론의 암호론에의 응용은 이미 진부한 이야기가 되어가고 있으며 필자가 아는 가장 최근에 나타난 응용분야는 Financial Mathematics, 대수기하학의 디자인 또는 Robotics에의 응용, Dynamics 이다. American Mathematical Society(AMS)의 출판물 Proceedings of Symposia in Applied Mathematics를 살펴보면 1998년까지 발행된 55권의 제목들이 다음과 같다. 1947년부터 시작해서 1998년까지 어떤 흐름을 가지고 있는지를 누구라도 제목에서 충분히 느낄 수 있다.

1. Non-linear problems in mechanics of continua 1947년
2. Electromagnetic theory 1948년
3. Elasticity 1949년
4. Fluid dynamics 1951년
5. Wave motion and vibration theory 1952년
6. Numerical analysis 1953년
7. Applied probability 1955년
8. Calculus of variations and its applications 1956년
9. Orbit theory 1958년
10. Combinatorial analysis 1957년
11. Nuclear reactor theory 1959년
12. Structure of language and its mathematical aspects 1960년
13. Hydrodynamic instability 1960년
14. Mathematical problems in biological sciences 1961년
15. Experimental arithmetic, high speed computing, and mathematics 1962년
16. Stochastic processes in mathematical physics and engineering 1963년
17. Applications of nonlinear partial differential equations in mathematical physics 1964년
18. Magneto fluid and plasma dynamics 1965년
19. Mathematical aspects of computer science 1966년
20. The influence of computing on mathematical research and education 1973년
21. Mathematical aspects of production and distribution of energy 1976년
22. Numerical analysis 1978년
23. Modern statistics : Methods and applications 1980년
24. Game theory and its applications 1979년
25. Operations research : mathematics and models 1979년
26. The mathematics of networks 1981년
27. Computed tomography 1982년
28. Statistical data analysis 1982년
29. Applied cryptology, cryptographic protocols, and computer security models 1981년
30. Population biology 1983년
31. Computer communications 1983년
32. Environmental and natural resource mathematics 1984년
33. Fair allocation 1985년
34. Mathematics of information processing 1984년
35. Actuarial mathematics 1985년
36. Approximation theory 1986년
37. Moments in mathematics 1987년
38. Computational complexity theory 1988년
39. Chaos and fractals : The mathematics behind the computer graphics 1988년
40. Matrix theory and applications 1989년
41. Robotics 1990년
42. Cryptology and computational number theory 1989년
43. Combinatorial games 1990년
44. Probabilistic combinatorics and its applications 1991년
45. New scientific application of geometry and topology 1992년
46. The unreasonable effectiveness of number theory 1991년
47. Different Perspectives on wavelets 1993년
48. Mathematics of computation 1943-1993 : A half-century of computational mathematics 1995년
49. Complex dynamical systems : The mathematics behind the Mandelbrot and Julia sets 1994년
50. Different aspects of coding theory 1995년
51. The interface of knots and physics 1996년
52. Proceedings of the Norbert Wiener centenary congress, 1994, 1997년
53. Applications of computational algebraic geometry 1998년
54. Recent advances in partial differential equations, Venice 1996, 1998년
55. Mathematical aspects of artificial intelligence 1998년
1996년에 Notre Dame대학에서 열린 에서도 이러한 관점은 여러 사람들에 의해서 여러 번 강조되었다. Birkhauser 출판사에서 발행된 이 학회의 Proceedings에 나온 내용은 다음과 같다.
1. 현대에 들어서 수학의 응용은 전혀 새로운 문제, 전에는 엄두도 내지 못했던 계산능력으로 요약된다.

2. 수학의 세부분야 사이의 경계선이 점차로 희미해지고 있다. 수학과 다른 학문과의 경계선조차 희미해지고 있다. 학문적으로 어린 사람들은 이런 경계선을 넘나들 능력이 없고, 그래서 넘나드는 것을 두려워 할 것이다.

3. 수학을 응용하고 싶다면 우선 Fundamentals에 전념하라. 어떤 분야가 각광받을지는 아무도 모르기 때문이다. 어느 한 분야의 Fundamental에도 능통하지 못한 사람이 학제간 연구의 성격이 강한 수학의 응용을 잘 할 수 없는 것은 너무나도 당연한 일이다.
Mumford의 관점은 다음과 같다.
1. 수학은 물리학이나 전산학등 주변과학과 비교해서 상당히 Unified된 학문이다. 그러나 앞으로는 이런 Unification을 위해서 조금 더 노력을 기울여야 할 것이다. (잘 알려진 우스개 소리가 있다. 수학자들은 박사학위를 받고 10년이 지난 뒤에 누가 당신은 무엇을 공부합니까라고 물어볼 때에 "I want to be a mathematician." 이라고 대답을 하지만, 공학자들은 "I study QQ aspects of RRR theory for SSSS."라고 대답한다는 것이다. 물론 I want to be a mathematician 이라고 대답할 수 있는 사람은 그래도 상당한 수준에 도달했다고 할 수 있다. 그렇지 못한 사람들도 많이 있다.)

2. 어떤 이론이든지 너무나 Full Generality로 만드는 경향은 수학의 Unification을 위해서 좋지 않다. Bourbaki로부터 전통을 이어받은 Grothendieck의 Scheme은 많은 반대에도 불구하고 좋은 결과들을 얻었지만, 또한 어떠한 수학의 세부분야라도 Full and Complicated Axiomatic System으로 바꾸는 것이 항상 가능함을 보여주었다. Hilbert등 19세기의 수학자들이 생각했던 수학의 Axiomatization은 그런 것이 아니었다. 수학의 어떠한 세부분야라도 Full and Complicated Axiomatic System으로 바꾸면 다른 세부분야 사람들과의 의사소통을 막아버리는 효과를 분명히 가지고 있다.

3. 문제풀기(Deep Theorems)와 이론만들기(Mathematical Modeling = Theory Building)는 어느 하나가 다른 하나보다 더 중요하다고 말할 수 없는 것이다. (보통 수학의 발달은 문제를 풀기 위해서 각종 이론을 만들어 나가고, 문제가 풀리면서 새로운 문제들이 발견되고, 다시 이론이 만들어지고 하는 과정을 통해서이다. 그런 의미에서 20세기 초반의 Bourbaki 방식은 이론을 만드는 과정이었다고 볼 수 있다. 21세기 초반의 수학은 문제풀기 및 타 학문분야의 발달에서 얻어지는 새로운 문제의 발견이 될 것이라고 개인적으로 생각한다.)
Mumford의 의견은 계속해서 다음과 같다. 또한 정부의 주도로 나누어주는 연구비의 배분이 수학의 연구방향을 결정지어서는 안된다. 정부는 결국 Management of Research에서 시작해서 Management of Research로 나갈 것이기 때문이다. 어느 나라에서도 Committee에서 회의해서 정해준 연구주제를 따라서 연구했기 때문에 좋은 수학적인 결과가 나온 경우는 거의 없으며, 어느 나라에서도 Committee에서 돈을 잘 주는 주제를 연구했기 때문에 수준 높은 수학적 발견이 이루어진 경우도 거의 없다.

그리고 수학의 각 세부분야가 점점 어려워졌기 때문에 학생들에게 폭넓게 공부하는 것을 요구해서는 안된다는 사람들이 있는데 그것은 대단히 잘못된 어리석은 생각이다. 나 자신(Mumford)도 한때는 그렇게 생각했었다. 그러나 Harvard대학 수학과에서 9시간에 걸쳐서 보는 자격시험을 해당과목의 A학점으로 대치 가능하게 해주자는 회의에서 A. Gleason(전 AMS 회장)이 강력하게 반대했다. Gleason의 논지는 정규수업이 아닌 자격시험에서만 학생들에게 간단할지라도 각 세부분야 - 대수학, 해석학, 기하학, 위상수학등 - 들이 복합적으로 연결되어 있는 문제를 물어볼 수 있다는 것이다. 학생이 수학의 문제를 해결하려고 하든지 아니면 실제로 수학 밖의 문제를 해결하려고 하든지 각 세부분야의 기본적인 지식을 자유자재로 사용할 수 있는 기초적인 능력(Must be able to carry his own toolbag(연장도구))을 가지고 있어야지 문제를 해결할 능력이 생긴다는 것이다. Harvard대학 수학과에서는 Gleason의 주장을 인정하여서 해당과목의 A학점으로 자격시험을 대치하자는 안건이 부결되었다. 학생들이 어려워 하니까 쉽게 가르치자는 사람들도 있는데, 이미 몇몇 우수한 대학의 화학과에서는 대학에 입학한 학생들에게 곧바로 Quantum Chemistry의 개념을 가르치는 것으로 전공분야의 교육을 시작한다. 수학에서도 교육과정을 개편해야 할 때가 된 것 같다. 그동안 수학이 근본적인 발전을 이룩했다면 말이다.

새로운 분야가 나타나고 전통적인 학문분야의 분류가 점점 더 무의미해져가는 분위기는 미국 National Science Foundation(NSF)의 Program 분류에서도 잘 알 수 있다.

아래에 NSF에서 1998년도에 30만불 이상을 지원하는 수학분야의 신규과제를 해당 Program의 이름아래에 적었다. 물론 Discrete Structures, Theory of Computing, Control Theory, Network, Optimization, Scientific Simulation등등 필자가 분류하기에 어려운 분야들도 많이 있었지만 그것들은 생략하기로 하였다. 왜냐하면 전산학, 기계공학, 산업공학, 생물학 등과 중복되는 부분이 많이 있으리라고 생각하기 때문이다. 학제간 연구, 새로운 연구분야의 탄생은 이미 모든 분야에 걸쳐서 일어나고 있다. 독자는 어느 분야에서 30만불 이상 되는 과제를 몇 개나 받았는지 따위의 무의미하고 몰상식한 일을 하기보다는 30만불 이상을 지원 받는 <과제의 제목>들은 도대체 무엇인지를 주의 깊게 살펴보고, 독자같으면 해당 과제를 NSF처럼 분류할 것인지 그렇지 않은지를 생각해 보고, NSF는 왜 분야의 이름을 아래처럼 했는지도 음미해보고,
이 글 전체에 걸쳐서 여러 대가들이 언급했던 흐름을 조금이라도 느껴보기 바란다.

1. Algebra and Number Theory(신규과제 78개)
- Groups, Algorithms and Geometries
- Geometric Methods in the Representation Theory of Affine Hecke Algebras and Quantum Groups
- Applications of Noetherian Rings
- L-Functions, Elliptic Curves and Siegel Zeroes
2. Analysis(신규과제 100개)
- Arithmetic, Geometric, and Ergodic Aspects of the Theory of Lie Groups and Their Discrete Subgroups
- Ergodic Theory, Differential Dynamics and Combinatorial Number Theory
- Unitary Representations of Reductive Groups
- Operator Algebraic Structures and Their Applications
- Partial Differential Equations
3. Applied Mathematics(신규과제 68개)
4. Classical Analysis(98년도 신규과제 없음)
5. Computational Mathematics(신규과제 17개)
- Computational and Mathematical Investigations in Optimization
6. Foundations(집합론등 수학기초론, 신규과제 20여개)
7. Geometric Analysis(미분기하학, 신규과제 45개)
- Riemann Surfaces, Dynamics and Hyperbolic Geometry
- Nonlinear Problems in Symplectic Geometry and Complex Geometry
- Symplectic Geometry and Complex Geometry
- Topoloy, Geometry and Physics
- Differential Equations in Geometry
8. Numerical, Symbolic and Geometric Computations(신규과제 30여개)
- Computational Methods in Markov Chains
9. Probability(신규과제 26개)
- Markov Processes
10. Topology(신규과제 10개)