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국내외수학계동향
제    목 유체론 100주년과 그 전망-학회보고서
저    자 한상근(KAIST)
첨부파일 시 작 일 2008-12-03
지  역 한국 종 료 일 2008-12-23
한국과학기술원 수학과 한상근

(* 이 보고서는 필자가 일본의 학회에서 보고 들은 개인적인 관찰을 기초로 작성하였으며, 따라서 아래 보고서 전체가 순전히 필자의 개인 의견임을 미리 밝힙니다.)
필자는 지난 1998년 6월 2일부터 6월 13일까지 일본 동경 와세다(早稻田)대학에서 열린 제 7 차 일본수학회 International Research Institute (Topic : Class Field Theory - Its Centenary and Prospect)에 한국과학기술원 수학과 수리과학정보센터(ICMS)의 일부지원을 받아서 참가하였다.
일본수학회의 International Research Institute는 일본수학회의 회계연도인 4월초에서 다음해 3월말사이에 한번씩 열리며 따라서 어떤 해에는 두 번 열리는 경우도 있다고 함. 제 6 차 Institute의 주제는 미분기하학이었음. 이번 제 7 차 학회는 주로 Hironaka 재단과 와세다대학의 지원으로 이루어졌다고 한다.
한국인으로는 필자를 포함하여 고등과학원의 오장헌 박사, 인하대학의 양재현 교수가 참가하였다. 양재현 교수는 인하대학의 학사일정 때문에 학회 도중에 한국으로 귀국하였다. 일본 현지의 유학생으로는 고려대학을 졸업한 동경도립대(東京都立大)의 문현숙, 덕성여대를 졸업한 중앙대학(中央大學)의 박지은씨가 참가하였다.
일본에는 많은 한국인 유학생들이 있는데 대개는 인문사회과학분야를 공부한다고 한다. 일본은 미국에 비해서 유학생들이 아르바이트를 하는데 제약이 적고 또한 일자리가 많기 때문에 유학생의 숫자가 늘어나고 있다고 함. 중앙대학(中央大學)에만 학부 유학생까지 합해서 약 200명의 한국인 유학생들이 있다고 함. 와세다대학에 한국인 유학생이 가장 많다고 함. 양재현 교수는 10월 20일 - 22일에 연세대학에서 열리는 <정수론과 관련 분야에 관한 국제학회>의 안내문을 참가자들에게 배포하였다. 필자와 오장헌 박사는 12월에 고등과학원에서 열릴 <고등과학원 제 2 차 정수론학회>에 관한 자문을 여러사람들에게서 구하였다. 필자가 추천받은 초청연사들은 Cremona, Koblitz, Gross, Zhang 등이다. Coates는 특히 최근에 Gross-Zagier formula의 일반형태를 훨씬 쉽게 증명한 S. Zhang을 강력히 추천하였다.
학회 참가자들은 일본 국내의 수학자 약 170명, 외국의 수학자 약 40명이 참가하였다. 외국인들은 대개 3개의 숙소에 나누어서 투숙하였다. 필자와 양재현 교수는 동경대학 부근의 Tokyo Garden Palace에 투숙하였다. 발표는 3일(수)부터 12일(금)까지 모두 42개의 50분 또는 1시간짜리 강연으로 이루어졌다. 이주일간의 학회에서 일정의 변경은 Air France의 파업으로 인하여 Nobert Schappacher교수의 강연이 며칠 늦어진 것, Yasutaka Ihara교수가 일본 학술원상을 수상하게 되어서 강연을 하지 못한 것, Yacov Varshavsky 교수의 강연이 개인적인 사정으로 취소된 것, 동경 도립대(東京 都立大)의 Kurihara, Nakamula 두 교수의 강연이 추가된 것이 전부였다. 이 학회의 Proceedings는 Kinokuniya의 Advanced Studies in Mathematics Series에 나올 예정이다. 일본수학회의 회계연도에 맞출 예정이므로 1999년 3월까지는 Proceedings가 나올 예정이다. Advanced Studies in Mathematics Series는 일본수학회에서 시작하였으나 지금은 Kinokuniya 출판사에서 발행하고 있다고 한다. 강연의 내용은 유체론의 발달과정, 앞으로의 전망, 그리고 연구결과에 관한 강연들이 있었다. 특히 인상에 남았던 강연들은 Iyanaga, Frei, Stevenhagen, Koch, Roquette, Greenberg, Coates, Schappacher, Ono의 강연이었다.
대학원 학생들에게 앞으로의 연구에 도움이 되는 내용을 권한다면 특히 Stevenhagen, Greenberg, Coates, Ono 네사람의 강연을 들겠다. Greenberg, Coates의 강연은 타원곡선을 이용한 non-Abelian class field theory(Iwasawa type)에 관한 폭넓은 내용을 담고 있으며, Stevenhagen의 강연은 Shimura reciprocity를 이용한 computational class field theory(complex multiplication)에 관한 구체적인 내용이고, Ono의 강연은 Shafarevich-Tate group을 purely algebraic한 부분과 arithmetic한 부분으로 나눌수 있다는 누구나 쉽게 접근 가능한 내용이다. 상당수의 외국인들은 23일부터 동경대학에서 열리는 Ihara교수 60회 생일 기념학회에 참가하고 (http://www.math.keio.ac.jp/~matumoto/KANREKI/kanreki.html), 일본인 Hashimoto, Hironaka등 몇사람은 15일 - 19일에 서울대학에서 열리는 국제학회>에 참가한다. 일본에서는 올해에 정수론분야에 많은 학회가 있었고 앞으로도 계획되어 있다. 강연의 제목들은 따로 있으므로 발표내용의 성격을 간략하게 말하면 Iyanaga, Frei, Schappacher, Koch, Roquette, Casselman는 유체론의 역사에 대한 강연을, 다른사람들은 세부분야에서의 지금까지 알려진 결과들에 대한 Survey 또는 그 세부분야에 대한 앞으로의 전망 또는 자신의 연구결과를 발표하였다. 세계 수학계에서는 대체로 지난해나 올해 정도를 유체론 탄생 100주년으로 생각하고 있다. 지난 3월 3일에는 네델란드의 Amsterdam 대학에서 Artin Reciprocity Celebration 기념학회가 있었다. Artin이 1898년생임을 염두에 둔 행사이다. 하지만 유체론이 Artin 혼자의 힘으로 발견된 것이 아니므로 오히려 Artin 탄신 100주년 기념행사가 되어버렸다. 일본수학회에서 유체론 탄생 100주년을 기념하는 대대적인 학회를 개최하고 많은 저명한 유럽수학자들이 여기에 기꺼이 참가한 이유는 Hilbert의 정수론에 관한 Bericht(report)가 1897년에 나왔고, Takagi가 일본사람이기 때문이고 지금도 정수론 분야에서 활약하는 저명한 일본인들이 있기 때문이다.
학회 도중에 日佛協會(Franco-Japonaise)에서는 학회 참가자 Jean Cougnard교수가 프랑스의 대수적 정수론의 역사에 관한 강연을 하였다. 또한 日佛協會가 발행하는 학술지 Ebisu 1997년 가을-겨울호에는 또다른 학회 참가자 Pierre Kaplan교수가 투고한 이라는 글이 실렸다.
일본사람들은 세계 수학사에 일본인의 이름을 올리기 위해서 대단히 노력을 하고 있다는 인상을 받았다. 적어도 정수론에는 Takagi(高木), Iwasawa(岩澤)의 이름이 남을 것이다. 그리고 뒤를 있는다면 Shimura, Taniyama등일 것이다.
학회를 통해서 들은 강연의 내용을 요약하면 - 유체론의 역사와 전개과정 - 다음과 같다(전문적인 내용을 포함하고 있음.).
Weber로부터 유체론이 시작되었다. Weber는 독일 역사상 가장 많은 대학에서 초청을 받은 수학자라고 함. 유리수체 Q 의 모든 Abelian extension을 cyclotomic number field의 subfield로 만들 수 있다는 소위 Kronecker-Weber 정리를 완벽하게 증명한 사람은 실은 Hilbert이다. Kronecker의 증명과 뒤를 이은 Weber의 증명은 gap을 가지고 있다. Weber는 Dedekind zeta function, Dirichlet L-function, Elliptic functions with complex multiplication의 연구로부터 class field라는 개념을 가지고 있었다. 그리고 유체론의 First inequality를 이미 증명하였다. 이를 포함하여 그때까지 알려진 결과들을 독일 수학회의 요청에 따라서 Hilbert가 1897년에 정리한다. Weber가 유체론을 완성하지 못한 이유는 타원곡선에 관한 Jacobi 방식과 그 뒤에 발견된 Weierstrass 방식을 같은 기호를 사용하여 전개해 나갔기 때문에 결국에는 Weber 본인이 두가지를 혼동했기 때문이라고 한다. Takagi는 Weber의 방식을 그대로 전개해 나가면서 Weber이후 독일 수학자들이 범했던 오류를 피할수 있어서 유체론을 완성했다고 한다. Coates는 최근에 다시 연구되고 있는 Jacobi 방식을 지금 대부분의 학자들이 사용하고 있는 Weierstrass 방식보다 더 많은 information을 동시에 다루는 방식이라며 이 Jacobi 방식이 앞으로도 더 연구되어야 한다고 말했다.
Hilbert의 Bericht에는 지금의 Hilbert class field에 해당하는 개념과 그에 대한 Conjecture가 들어있었다. 많은 수학자들이 이를 연구하였으나 Hilbert의 Conjecture의 증명에 성공하지 못하고 있었다. 왜냐하면 그들은 임의의 Abelian extension이 아니라 Hilbert class field(maximal unramified Abelian extension)만을 생각했기 때문이다. 1900년의 Paris ICM에서 Hilbert가 제기한 23가지 문제중에서 12번째 문제에 대한 수학계의 오류가 있었음을 Schappapher가 원문을 이용해가며 지적하였다. Hilbert가 말했던 12번째 문제는 을 <단 하나의 초월함수 exp(z)> 의 유리수에서의 값을 이용하여 만들 수 있는 것처럼, <임의의 허이차체의 임의의 Abelian extension>을 <단 하나의 초월함수 j(z)>의 imaginary quadratic algebraic numbers에서의 값을 이용하여 만들 수 있는가, 그리고 이러한 결과가 일반적으로 성립하는가하는 문제였다. 이는 불가능함이 알려졌다. 실제로 유한개의 고정된 modular function만을 사용해서는 이 문제가 불가능함이 증명되었다. Hilbert가 생각하고 있었던 것은 단 하나의 초월함수 j(z)를 이용한 허이차체의 Hilbert class field였을거라는 추측을 할수있다.
Takagi가 이 문제를 임의의 Abelian extension으로 확장하여 Second inequality를 증명한다. Takagi는 자기의 증명이 너무나 일반적인 경우를 다룬다고 생각하여(자신의 결과가 모든 Galois extension을 다룬다고 처음에는 생각했다.) 스스로 자신의 증명을 믿지 못하고 전쟁 때문에 유럽의 수학자들과 교류하지 못하는 상태로 세계 제1차대전이 끝나는 무렵까지 자신의 정리에 대한 Counterexample을 찾으려고 부단히 노력하였다.
전쟁이 끝난 1920년에 프랑스의 Strasbourg(전쟁후에 프랑스가 가져간 독일의 알사스 로렌지방)에서 International Congress of Mathematicians가 열리고 이제야 자신의 결과가 Abelian extension만을 다루는 옳은 결과라는 것을 확신한 Takagi가 15분짜리 발표를 한다. 그러나 이때의 ICM은 철저하게 독일 수학자들을 배제한 상태로 열렸다. 모든 수학자들은 Organizing Committee의 2/3 이상의 찬성으로만 초청장을 받았으며, 독일 수학자들은 전쟁에 진 대가로 당연히 초청장을 받지 못하였다. 당시의 참석자 수는 직전에 열린 ICM의 참석자 수의 절반밖에 되지 않았다. Hardy등 몇몇 수학자들은 이에 항의하여 ICM에 참석하지 않았다. ICM이 열린 장소조차 일부러 독일이 빼았긴 땅 Strasbourg을 상징적인 의미로 골랐다. 일본이 제1차대전에서는 독일의 반대편이었기 때문에 참석할수 있었던 Takagi는 알아듣는 사람이 하나도 없는 상태에서 강연을 마치고 이어서 독일로 향한다. 프랑스는 Cauchy에서 Poincare로 이어지는 해석학의 강한 전통을 가지고 있었으며 대수학은 금세기 초까지 이웃나라 독일에 비해서 대단히 약했다. Kummer가 이미 알고 있던 non unique factorization domain에 관한 개념을 가지고 있지 않던 Cauchy등의 프랑스 수학자들이 Fermat의 문제를 풀었다고 여러번 주장한 역사적인 사실이 있다. Andre Weil, Chevalley같은 당시의 젊은 프랑스 수학자들은 자기들끼리 의논한 끝에 정수론을 공부하러 독일로 유학갔다고 Weil은 자신의 Memoir에서 밝히고 있다. Takagi의 논문의 중요성을 인식한 Noether는 Hasse에게 이를 권하고 Hasse는 다시 이를 Artin에게 권한다. 독일 수학회의 요청에 따라 Hasse는 Takagi의 논문의 결과를 정리하여 1927년에 Marburg에서 Bericht를 제출한다. 당시에 Marburg 학회에 참가했던 프랑스의 Weil, Chevalley는 이를 순수하게 대수적으로 해석하는 시도를 하고, Weil은 Noether로부터 시작된 구상에 따라서 Algebra를 이용한 유체론의 재구성에 성공, Chevalley는 Idele을 이용한 유체론의 재구성에 성공한다. Chevalley는 1950년대에 일본을 방문했으며, 당시에 젊은 Serre도 일본을 방문하였다. Chevalley는 자신의 Idele과 Galois cohomology에 관한 일본에서의 집중강연을 早n, 稻n, 田n 등의 기호로 표시한 책을 남겼다. 또한 Shimura-Taniyama conjecture도 이때에 나왔다. 또한 Artin은 이어서 Artin map을 이용하여 유체론의 완성에 성공한다. Takagi의 논문은 class field theory의 first, second inequality를 증명한 것이고-즉 두 group의 order가 같다는 것, Artin의 논문은 지금 우리가 알고있는 형태-즉 두 finite group이 isomorphic하다는 것이다.
Takagi와 일본 수학계에 대해서 들은바를 정리하면 다음과 같다. 자세한 내용은 Springer Verlag에서 나온 Takagi의 Collected paper에 있는 Iyanaga, Iwasawa, Yosida의 글과, Takagi 본인의 <回顧와 展望>에 나와있음.
Takagi Teiji(高木貞治, 1875-1960)은 京都의 第三高等學敎를 졸업하고(당시의 일본에는 프랑스의 제도를 본따서 전국에 8개의 학군과 8개의 고등학교가 있었다고함. 이때까지도 아직 일본어로 써진 교재가 없어서 영어로 써진 교재를 사용했음.) 東京大學으로 간다(당시 일본의 유일한 대학이었다고함. 이어서 京都大學, 東北大學의 순서로 설립된다.) 동경대학에는 明治維新 직후에 Cambridge, Berlin등지에서 수학과 물리학을 공부하고 돌아온 Kikuchi, Fujisawa 두 교수가 있었다. 이들 두 교수가 너무나 바빠서 Takagi가 직접 지도를 받을 기회는 별로 없었고(Kikuchi는 나중에 文部省으로 감. Takagi 세대까지의 일본학자들은 대학에서 사용할 일본어로 써진 대학교재를 모두 정부의 지시에 따라서 출판사와 협의하여 만들어내야 했음. Takagi 혼자서 저술한 수학교재의 내용만해도 수천 page에 이름.) Algebra가 중요하다는 Fujisawa의 권유에 따라 스스로 Weber의 책을 가지고 공부하던 도중에 정부의 명령에 의해서 독일로 유학을 간다.(개인적인 선택이 아닌 정부의 命令이라고함. Takagi와 같은 해에 일본에서 모두 12명이 유럽으로 공부하러 갔음. 당시에 이런 명령을 받은 사람은 중요한 인물로 취급되었음. 상당한 고위인사들이 이들의 환송식에 나왔음.) 이런 의미에서 Takagi는 Kikuchi-Fujisawa의 뒤를 잇는 일본의 제3세대 수학자이다. 지금의 일본수학자들은 대개 8세대 정도이다. Iyanaga는 Takagi의 제자이며, Iyanaga는 Ono, Shimura등을 길러냈다. 일본의 학풍은 대학원 박사과정에서는 학생본인이 스스로 알아서 공부하는 것이다. 미국의 경우에는 심하면 지도교수를 처음부터 아예 정하지 못하고 결국에 학교를 옮기는 경우도 있고, 일본에서는 국립대학 약 90개, 사립대학 약 180개가 있어서 학생들은 자신의 수준에 맞는 대학원 박사과정을 가게 된다. 미국도 일본도 탈락자가 거의 전무한 한국과는 대조된다. 동경대학의 Kato의 지도교수가 누구였냐는 필자의 질문에 일본수학자들은 서슴없이 Nobody라고들 대답하였다. 다른 몇 명의 일본수학자의 지도교수가 누구냐는 질문에도 마찬가지의 대답을 들을수가 있었다. 지도교수의 이름을 말해준 사람도 예를 들면 His advisor was Iwasawa during the undergraduate라는 식으로 대답하였지 박사학위 논문을 지도했다는 말은 하지 않았다. Takagi는 독일로 공부하러 가라는 정부의 명령에 상당한 부담을 느낀 듯 정수론에 관한 Hilbert의 Bericht를 일본에서부터 공부하기 시작한다.(지금도 보관되어있는 동경대학 도서관의 대출기록에 Takagi가 Hilbert의 Bericht를 공부한 흔적이 남아있다.) 독일에 도착한 Takagi는 Klein의 Erlangen Program에는 별다른 흥미를 느끼지 못하고 Hilbert를 찾아간다. 이때에 이미 Hilbert는 정수론을 떠나서 공리론을 이용한 수학기초론에 몰두하고 있을 때였다. 어쨌든 Takagi는 Hilbert를 만나서 정수론에 관한 대화를 나누었고 Hilbert가 떠난 뒤에는 Hilbert가 살던 집에서 하숙을 하며 지낸다. Takagi가 Galois theory에 관해서 Schwarz에게 질문을 하자 Schwarz가 말한 는 유명하다.(Think hard ! 또는 Just think ! 라는 의미임.) 일본으로 돌아온 Takagi는 일본에서 학위를 받고 부교수가 된다.
일차대전이 일어나서 유럽과 접촉이 끊어진 Takagi는 혼자서 유체론을 완성한다. Takagi는 이것을 동경대학에서 발간하는 학술지에 133 page의 논문으로 발표한다. Takagi 본인의 말에 따르면 유럽과의 접촉이 끊어지자 자신이 전쟁의 와중에서 수학발달의 흐름에서 멀어질까 걱정되어서 더욱 연구를 열심히 하게 되었다고 한다. 본인은 원래 조금 게으른 사람이라고 말했음.
아래에 일본 수학계의 현황에 대해서 들은바를 정리한다.
프랑스의 Rencontres Mathematique(Encounter with Mathematics)는 Ecole Normale Superieure de Lyon이 주관하며 매년 4회, 매번 2일에 걸쳐서 5번의 집중강연을 한다. 테마는 너무나 전문적이지 않은 것으로, 수학자들을 상대로하는 General Survey 수준이다. 이와 동일한 형식의 학회는 일본에 中央大學(Chuo)에서 주관하는 Encounter with Mathematics가 있다. 지난 12일-13일에 열린 제8회의 주제는 Toric Geometry(Bridge between Algebraic Geometry and Convex Geometry)였다. 프랑스의 Seminaire Bourbaki는 매년 4회 열리며 각 강연 1시간, 1회씩으로 진행되며, 수준은 해당분야의 전문가를 위한 수준 높은 강연이다. 일본에는 이에 해당되는 것은 없다. 일본은 와세다대학 주관으로 대학원학생들을 위한 Summer Camp가 운영되고 있으며 후지산 부근의 휴양지에서 매년 여름에 개최된다. 참가자는 매번 약 50명이며 올해의 주제는 타원곡선이다. 연사는 해당분야를 연구하는 대략 35세 미만의 일본의 활발한 젊은 수학자들이다

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